Mean, median dan modus merupakan materi statistika dasar yang telah dipelajari dalam matematika sejak di bangku sekolah dasar. Dengan memahami mean, median dan modus, kita jadi bisa mengetahui gambaran keadaan suatu data.
Data sendiri dibagi ke dalam dua jenis, antara lain data tunggal dan data kelompok. Setiap jenis data tersebut masing-masing bisa dihitung nilai mean, median dan modus nya.
Pengertian Mean Median Modus
Mean adalah nilai rata-rata dari sekumpulan data. Cara mencari nilai rata-rata tersebut bisa dihitung dengan menjumlahkan semua data lalu membaginya dengan banyaknya data. Maka itulah nilai mean.
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data. Cara mencari median dari suatu data dilakukan dengan mengurutkan data dari nilai terkecil hingga nilai terbesar. Data yang berada di tengah itulah yang merupakan nilai median.
Modus merupakan nilai dari sekumpulan data yang paling sering muncul. Cara mencari nilai modus suatu data dengan mengelompokkan data-datanya. Lalu dihitung data yang mana yang paling banyak muncul.
Rumus Mean Data Tunggal dan Cara Menghitungnya
Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, kita bisa menghitung nilai rata-rata data tunggal. Adapun rumus rata-rata data tunggal sebagai berikut.
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ ...(1)
$\bar{x}$ = mean
$x_i$ = data ke-i
$n$ = banyaknya data
Contoh menghitung nilai rata-rata data tunggal berikut: 76, 92, 45, 86, 66, 32, 56, 29, 76.
Kita tahu banyak datanya 9 berarti n = 9. Dengan menggunakan rumus mencari rata-rata pada persamaan (1) bisa dihitung nilai rata-ratanya.
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
$\bar{x} = \frac{76 + 92 + 45 + 86 + 66 + 32 + 56 + 29 + 76}{9} = 62$
Rumus Mean Data Kelompok dan Cara Mencarinya
Cara menghitung rata-rata data kelompok berbeda dengan data tunggal. Rumus yang digunakan untuk menghitung mean data kelompok adalah sebagai berikut.
$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i X_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}$ ...(2)
$\bar{X}$ = mean data kelompok
$X_i$ = titik tengah kelas interval ke-i
$k$ = banyak kelas interval
$f_i$ = frekuensi kelas interval ke-i
Contoh menghitung mean data kelompok berikut.
| Interval Nilai | $f_i$ |
|---|---|
| 10-19 | 2 |
| 20-29 | 3 |
| 30-39 | 5 |
| 40-49 | 2 |
| 50-59 | 6 |
Perhatikan, terdapat 5 kelas interval, kelas pertama 10-19, kedua 20-29 dst, sehingga k = 5.
Nilai tengah tiap kelas intervalnya yaitu 14.5, 24.5, 34.5, 44.5, 54.5. Maka bisa kita buat tabel seperti berikut.
| Interval Nilai | $f_i$ | $X_i$ | $f_i X_i$ |
|---|---|---|---|
| 10-19 | 2 | 14.5 | 29 |
| 20-29 | 3 | 24.5 | 73.5 |
| 30-39 | 5 | 34.5 | 172.5 |
| 40-49 | 2 | 44.5 | 89 |
| 50-59 | 6 | 54.5 | 327 |
| Total | 18 | 691 |
Hitung nilai rata-rata kelompoknya dengan persamaan (2).
$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i X_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}$
$\bar{X} = \frac{691}{18} = 38.38$
Cara Mencari Median Data Tunggal
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, cara mencari nilai median (tengah) data tunggal berarti kita perlu menyusun kumpulan data terlebih dahulu dari nilai terkecil ke terbesar.
Namun terdapat dua skenario untuk menentukan nilai median data tunggal ini. Skenario pertama yaitu banyak data ganjil, kedua banyak data genap. Agar lebih jelas mari perhatikan contoh mencari nilai tengah dari suatu data.
Skenario Ganjil
Data X : 1, 7, 6, 3, 5, 2, 6, 4, 9. Berapa nilai mediannya?
Perhatikan banyak datanya adalah 9, berarti ganjil. Maka nilai median tepat nilai tengahnya setelah diurutkan.
Data setelah diurutkan : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 9.
Tepat nilai yang berda di tengah-tengahnya adalah data dengan nilai 5.
Skenario Genap
Data X : 1, 4, 3, 6, 8, 5. Berapa nilai mediannya?
Banyak datanya 6, karena banyak datanya genap maka nilai median ada dua. Sehingga perlu dihitung jumlah nilai tengahnya dibagi 2.
Data setelah diurutkan : 1, 3, 4, 5, 6, 8.
Dua nilai tengahnya pada data tersebut adalah 4 dan 5. Maka nilai mediannya jumlah nilai tengahnya dibagi 2.
$Me = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$
Rumus Median Data Kelompok dan Cara Mencarinya
Cara mencari median data kelompok tidak sama dengan mencari median data tunggal. Kita perlu menggunakan rumus median data kelompok untuk menemukan nilai tengahnya. Adapun rumus median untuk data kelompok sebagai berikut.
$Me = t_b + (\frac{\frac{n}{2} - f_k}{f})C$ ...(3)
$Me$ = nilai median data kelompok
$t_b$ = tepi bawah kelas median
$n$ = banyak data
$f_k$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
$f$ = frekuensi kelas median
$C$ = panjang kelas
Agar mempermudah pemahaman, coba perhatikan contoh soal mencari median dari data kelompok berikut.
| Interval Nilai | $f$ | $f_k$ |
|---|---|---|
| 10-19 | 2 | 2 |
| 20-29 | 3 | 5 |
| 30-39 | 5 | 10 |
| 40-49 | 2 | 12 |
| 50-59 | 6 | 18 |
Pertama-tama kita perlu menentukan dimana letak kelas median dengan cara mengecek frekuensi kumulatif yang berada di setengah dari banyak datanya.
Dalam hal ini, banyak datanya yaitu 18, setengah dari banyak data berarti 9. Jadi kelas median terletak di interval 30-39 karena frekuensi kumulatifnya 10.
Kenapa tidak di 20-29? Karena frekuensi kumulatif di kelas tersebut baru 5, sehingga kelas interval belum memenuhi di interval tersebut.
Oke, berarti kita sudah tahu letak interval kelas median. Selanjutnya kita perlu menghitung nilai tepi bawah kelas mediannya yaitu dengan menjumlahkan nilai bawah kelas median dengan nilai atas kelas sebelum kelas median lalu dibagi 2.
Dalam hal ini, nilai bawah kelas median adalah 30, dan nilai atas kelas sebelum kelas median adalah 29.
$t_b = \frac{29 + 30}{2} = 29.5$
Kita juga tahu bahwa nilai frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 5 dan frekuensi kelas median nya adalah 5.
Sedangkan panjang interval kelasnya adalah 10, caranya dengan menghitung dari nilai bawah kelas hingga nilai atas kelas.
Sehingga kita sudah memiliki nilai-nilai untuk menghitung median data kelompok tersebut.
$t_b$ = 29.5
$n$ = 18
$f_k$ = 5
$f$ = 5
$C$ = 10
Terakhir, tinggal hitung menggunakan rumus persamaan (3).
$Me = t_b + (\frac{\frac{n}{2} - f_k}{f})C$
$Me = 29.5 + (\frac{\frac{18}{2} - 5}{5}) \times 10$
$Me = 29.5 + (\frac{9 - 5}{5}) \times 10$
$Me = 29.5 + (\frac{4}{5}) \times 10$
$Me = 29.5 + 8 = 37.5$
Cara Mencari Modus Data Tunggal
Cara mencari modus data tunggal tergolong sangat mudah yaitu dengan mengelompokkan datanya kemudian menghitung frekuensi data tiap kelompoknya. Jika ada lebih dari satu data yang memiliki frekuensi terbanyak yang sama, maka semua data itulah nilai modus nya.
Data X : 1, 2, 3, 6, 8, 4 , 8, 2, 1, 2, 8, 9. Berapa nilai modus data tersebut?
Untuk mempermudah mencari nilai modus data tunggal, kita buat saja tabel pengelompokkan seperti berikut.
| Kelompok | frekuensi |
|---|---|
| 1 | ii |
| 2 | iii |
| 3 | i |
| 4 | i |
| 8 | iii |
| 9 | i |
Perhatikan, terdapat dua data yang memiliki frekuensi terbanyak sama, yaitu data 2 dan 8. Maka nilai modus dari data tersebut yaitu 2 dan 8.
Rumus Modus Data Kelompok dan Cara Mencarinya
Cara mencari modus data kelompok tidak seperti halnya mencari modus data tunggal. Terdapat rumus yang diperlukan untuk menentukan nilai modus dari data kelompok. Berikut ini rumus untuk mencari modus data kelompok.
$Mo = t_b + (\frac{d_1}{d_1 + d_2})C$ ...(4)
$Mo$ = modus data kelompok
$t_b$ = tepi bawah kelas modus
$d_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
$d_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya
$C$ = panjang kelas
Tampaknya akan sulit jika tidak ada contohnya. Mari kita pahami melalui contoh cara mencari nilai modus dari data kelompok.
| Interval Nilai | $f$ |
|---|---|
| 10-19 | 2 |
| 20-29 | 3 |
| 30-39 | 5 |
| 40-49 | 2 |
| 50-59 | 6 |
Pertama-tama kita perlu mencari letak kelas modus ada di interval mana dengan cara melihat frekuensi paling banyak. Dalam hal ini frekuensi paling banyak ada di interval 50-59 dengan jumlah 6.
Berikutnya kita perlu menghitung nilai tepi bawah kelas modus nya. Sama seperti ketika menghitung tepi bawah kelas median ya. Jumlahan nilai bawah kelas modus dengan nilai atas kelas sebelum modus dibagi dua.
Dalam hal ini, nilai bawah kelas modus adalah 50, sedangkan nilai atas kelas sebelum kelas modus adalah 49.
$t_b = \frac{50 + 49}{2} = 49.5$
Kita perlu menghitung nilai selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus. Di mana frekuensi kelas modusnya adalah 6, sedangkan frekuensi kelas sebelum kelas modusnya 2.
$d_1 = 6 - 2 = 4$
Berikutnya kita perlu tahu selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelah kelas modus. Di mana frekuensi kelas modusnya adalah 6, sedangkan frekuensi kelas setelah kelas modusnya 0 karena dalam kasus ini kelas modus adalah kelas terakhir.
$d_2 = 6 - 0 = 6$
Adapun panjang interval kelas adalah 10, caranya dengan menghitung dari nilai bawah kelas hingga nilai atas kelas.
Kita sudah memiliki nilai-nilai yang diperlukan untuk menghitung nilai modus untuk data kelompok tersebut, saatnya hitung menggunakan rumus persamaan (4).
$t_b$ = 49.5
$d_1$ = 4
$d_2$ = 6
$C =$ 10
$Mo = t_b + (\frac{d_1}{d_1 + d_2})C$
$Mo = 49.5 + (\frac{4}{4 + 6}) \times 10$
$Mo = 49.5 + (\frac{4}{10}) \times 10$
$Mo = 49.5 + 4 = 53.5$